{-1,1} n-by-n circulant matrices with maximal Schur norm, for n <= 24, described by their top row. Note that these are often not unique (even up to negation, left-right flips, and cyclic permutations) -- we just give one maximal example, not all of them.

+
++
+--
+++-
+----
+-----
++-+---
++-+----
++-+-----
++-+------
+++-+--+---
++--+-+-----
++--+-+------
+-+-+--++-----
+++--++-+------
++-+++--+-+-----
++-+-++--++------
+++--+-+---+------
+++--+-+-++--+-----
++--+-+-+--++-------
+++-+---+--+----+----
+++--++--+--+-+-------
++++-+-++--++--+-+-----
+++-+--++-+-++---+------


{-1,1} n-by-n matrices with large Schur norm, for n <= 24. These are only known to be maximal when n <= 8 or n is a multiple of 4. For other values of n, these have the largest Schur norms we know of, but they are not known to be maximal.

+

++
+-

circulant +--

circulant +++-

circulant +----

++++++
+++---
++-+--
+-++--
+---+-
+----+

circulant ++-+---

++++++++
+-+-+-+-
++--++--
+--++--+
++++----
+-+--+-+
++----++
+--+-++-

++++++++-
+-+-+-+--
++--++---
+--++--++
++++-----
+-+--+-+-
++----+++
+--+-++-+
+++-++--+

++++++++-+
+-+-+-+-+-
++--++--++
+--++--+++
++++------
+-+--+-+++
++----++-+
+--+-++--+
+---++-+--
++-+-++++-

++-+--++---
++++-+--+--
+++-+------
++-++----++
--++-----++
-+-----+++-
+------++-+
+----++--+-
-+---++---+
---+++-+---
---++-+-+--

++++++++++++
+-+-+++---+-
+--+-+++---+
++--+-+++---
+-+--+-+++--
+--+--+-+++-
+---+--+-+++
++---+--+-++
+++---+--+-+
++++---+--+-
+-+++---+--+
++-+++---+--

circulant ++--+-+------

-++++++++-+---
+-+++++-++-+--
++-++++--++-+-
+++-+++---++-+
++++-+++---++-
+++++-+-+---++
++++++-+-+---+
-+++-+--++++++
--+++-++-+++++
+--+++-++-++++
-+--++++++-+++
+-+--++++++-++
++-+--++++++-+
+++-+--++++++-

----+++++-++++-
---+-++-++++-++
---++-++-++-+++
-++--+++-++----
++-+--+++-+----
+-+-+-+-+++----
++++++-++++--+-
-++-----+-+-+++
+++---++++-++++
+-+----+--++-++
++-------+++++-
++--+++------++
+-++-++-----++-
-++++-+----+-+-
+++++++---+++-+

++++++++++++++++
+-+-+-+-+-+-+-+-
++--++--++--++--
+--++--++--++--+
++++----++++----
+-+--+-++-+--+-+
++----++++----++
+--+-++-+--+-++-
++++++++--------
+-+-+-+--+-+-+-+
++--++----++--++
+--++--+-++--++-
++++--------++++
+-+--+-+-+-++-+-
++----++--++++--
+--+-++--++-+--+

+++++++++++++++++
+----------++++++
+------++++----++
+++----+--++--+--
++--+---+-+-++---
+--+-+---++++----
+-+---+-++--+-+--
+---+-++-+-+-+---
+--+-+-++----++--
+---+++---+---+-+
+-++--+---+--+-+-
+++--+---+---+--+
++---+++----+--+-
++-+--+-+--+----+
++-++----+----++-
+-+++--+----+---+
+-+-++--+--+---+-

--+++++++-+++-++-+
+--+++++++-+++-++-
++--+++++-+-+++-++
+++--+++++-+-+++-+
++++--+++++-+-+++-
+++++--++-++-+-+++
++++++--++-++-+-++
+++++++--++-++-+-+
-+++++++-+++-++-+-
+-+--+----+++++++-
-+-+--+----+++++++
--+-+--+-+--++++++
---+-+--+++--+++++
+---+-+--+++--++++
-+---+-+-++++--+++
--+---+-++++++--++
+--+---+-++++++--+
-+--+---++++++++--

-++-++-++----------
+---+-+-++---+-++--
+----+++-+----++-+-
---+++++++---++---+
+-++----+++------++
++-+---+-+-+----+-+
-+++--++++--+---++-
+-++-++----+++-----
++-++-+---+-+-+----
-++++++--+++---+---
-----+--+++++-+-+--
----+--+-+++++---+-
------+++-+++--+--+
--++---+--+--++++--
-+-+----+--+-+++-+-
-++------+--++++--+
-+---++---+--+--+++
--+-+-+----+--+-+++
---+++------+--++++

++++++++++++++++++++
+--++----+-+-++++--+
+-++----+-+-++++--+-
+++----+-+-++++--+--
++----+-+-++++--+--+
+----+-+-++++--+--++
+---+-+-++++--+--++-
+--+-+-++++--+--++--
+-+-+-++++--+--++---
++-+-++++--+--++----
+-+-++++--+--++----+
++-++++--+--++----+-
+-++++--+--++----+-+
+++++--+--++----+-+-
++++--+--++----+-+-+
+++--+--++----+-+-++
++--+--++----+-+-+++
+--+--++----+-+-++++
+-+--++----+-+-++++-
++--++----+-+-++++--

+----++++++++++++++++
--+++----++++++++++++
-+-++++++----++++++++
-++-+++++++++----++++
-+++-++++++++++++----
+-+++-+++--++--+++--+
+-++++-++-+-+++----++
+-+++++-++-+-+-+--++-
+-++++++-++---+-+++--
++-++++---+++-++--+-+
++-++--+++-++-+-+-++-
++-++-++-++-++-+-+-+-
++-+++--++++-+--++--+
+++-+-+-+++---+++--++
+++-++-+-+--++-++-+-+
+++-+++----++++-++-+-
+++-+--++-++-+++-++--
++++--++--++-+--+-+++
++++-+-+-+-+--++-+-++
++++--+-++--+++--++-+
++++-+--+-+-+--+++++-

++-----++++++++++-----
++-----+++++-----+++++
--+----+----++-----+-+
---+----+----++--+--+-
----+----+--+---+-+-+-
-----+----+---++--+--+
------+----+---+++-+--
+++----+------+-+++---
++-+----+---+--+--++--
++--+----+---+-+-+---+
++---+----+--+--+--++-
++----+----++-+-----++
+---+++++-+-+----+----
+-+--++-++-+-+----+---
+--+++-+-+-+--+----+--
+-++--++-++----+----+-
+-+++---+-++----+----+
-+++-+---++++----+----
-+-++-++--++-+----+---
-++-+-+-+++---+----+--
-++-++-++--+---+----+-
-+-+-+++++------+----+

+-+----++----++++++++++
-++--++----++--++++++++
++-++----++----++++++++
--++---++++++--++--++--
--+-+--++++++----++--++
-+-----+++------++--++-
-+-----++-+----+--++--+
+--++++++--+---+--+-++-
+--++++++---+---++-+--+
--++++----------+-++-+-
--+++-+--------+-+--+-+
-+-++--+---+++++-+-+-+-
-+-++---+--++++-+-+-+-+
+----------+++---++++--
+----------++-+++----++
++++--++--++--+-+++----
++++-+--++--+-++-++----
+++-++--+-++-+-+++-----
+++-+-++-+--++-++-+----
++++--+-++-+-+-----+-++
++++-+-+--+-++------+++
+++-++-+-+-+--+----++-+
+++-+-+-+-+-+-+----+++-

++++++++++++++++++++++++
+-+-+++---+-+-+-+++---+-
+--+-+++---++--+-+++---+
++--+-+++---++--+-+++---
+-+--+-+++--+-+--+-+++--
+--+--+-+++-+--+--+-+++-
+---+--+-++++---+--+-+++
++---+--+-++++---+--+-++
+++---+--+-++++---+--+-+
++++---+--+-++++---+--+-
+-+++---+--++-+++---+--+
++-+++---+--++-+++---+--
++++++++++++------------
+-+-+++---+--+-+---+++-+
+--+-+++---+-++-+---+++-
++--+-+++-----++-+---+++
+-+--+-+++---+-++-+---++
+--+--+-+++--++-++-+---+
+---+--+-+++-+++-++-+---
++---+--+-++--+++-++-+--
+++---+--+-+---+++-++-+-
++++---+--+-----+++-++-+
+-+++---+--+-+---+++-++-
++-+++---+----+---+++-++